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《周髀算经》与道
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“Zhoupi sutra of Arithmetic” and Tao
 
 
《周髀算经》与道
内容提要:中国传统数学典籍“算经十书”的第一部即《周髀算经》,在这部阐述“盖天说”的天算书中,数学思想与道学思想融为一体,书中对规、矩、方、圆、用矩之道和道术等,有着深湛的论述。本文从数学思想和数学方法上,对《周髀算经》与道的关系进行论述;对“矩出于九九八十一”提出自己的看法;对道与自然阐述一些新见解;对科学与道学联手探索自然,导致原始性创新的创新思维,作出探讨。
关键词:《周髀算经》;道;自然
作者简介:郭金彬,男,1947年6月生,福建莆田市人,厦门大学人文学院哲学系教授,博士生导师。

“道”,千百年来为人们所津津乐道。“道”之学问,深刻而广博。人的存在、人的生存,存之有道;人的积极进取和全面发展,取之有道;从最基本的、最根本的生存论的视野上审视人与自然和科学,“道”就是一种随着存在的展开而发展着的方式;它也是把握自然的法宝(对于自然,可作更深层次的理解:自然是事物存在、变化的内外因结合所形成的存在必然和变化态势,是事物所要潜在或发挥的应该[1]);文化(科学)是人思维着的生存智慧,是这种智慧的结晶和历史积淀的产物,因而“道”亦是文化(科学)发展的基本动力和最终取向。这可以看作是道的基本功能[2]。这种功能在中国很早很早以前就体现出来了。本文在这里主要就《周髀算经》与道,作一些深入的研究。



《周髀算经》是部阐明西汉或更早时期的“盖天说”和四分历的天文历算著作。盖天说是我国古代的一种宇宙结构学说,这种学说的内容前后有所不同:起初主张天圆象张开的伞,地方象棋盘。后来主张天象一个斗笠,地象复着的盘。“四分历”规定一回归年等于 日,一朔望月等于 日,19个太阳年中插入7个闰月,因为岁余为四分之一日,古称“四分历”。这分数表示法和分数乘除算法及开平方法,在《周髀算经》中已有相当繁复的记载;并且,在现存文献中,《周髀算经》是最早引用勾股定理的著作。《周髀算经》的髀即股,在周地立八尺之表为股,表影为勾,故称“周髀”。
《周髀算经》分上下两卷,有关数学的论述载在卷上之一与之二,其余部分是天文和历法,卷上之一有周公商高问答部分,卷上之二有荣方陈子问答部分。我们就此二问答部分,阐述其与道的关系。
卷上之一:“昔者周公问于商高曰:……古者包犠立周天历度,夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?商高曰:数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩以为句广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一矩,环而共盘得三、四、五。两矩共长二十有五是谓积矩。故禹之所以治天下,此数之所生也。……周公曰:大哉言数!请问用矩之道。商高曰:平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方。”
上述的周公、商高问答是了解我国古代数学思想与道的关系的重要资料。数(数学)究竟是从哪里来的呢?用矩之道(用数之道)是怎样的呢?这些都说明了对这些类似的问题,《周髀算经》都明确地涉及。在周公时代(约公元前1100年),我们的祖先对数学研究已付以关注,极想懂得“数安从出?”、“数之所生”和“用矩之道”等。商高的答问,体现了当时的思想水平。当时的思想水平,有些是十分深刻的。
“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一”。这是我们的祖先经过长期实践和思索而总结出的“数之所生”之道,是先人提炼出来的十分宝贵的数学思想精粹。人生活在地球上,人与天和地的关系十分密切,人们最关心的首先就是地和天。那么,天和地的形状是怎样的呢?在人类早期的自然观中,用方、圆的概念去认识地和天,是很自然的。《周髀算经》所阐述的“盖天说”,就是用形象的天圆地方来描绘天地的。我国很早就产生并广泛地运用“方圆”概念了。“方圆”也作“方员”、“方圜”。《周礼•考工记•與人》曰:“圜者中规,方者中矩。”《孟子•离婁》曰:“不以规矩,不能成方员”。《礼记•经解》曰:“规矩诚设,不可以欺方圜”。可见,古人在用“方圆”概念来描述天地时,是牢牢将之与规、矩联在一起的。这“规矩”二字,在中国文化史上扮演着丰富的角色。“规矩”最早的含义是校正圆形方形之器。“规矩”中的规,原意有作圆规的,有作圆形的。圆规即画圆形的工具,《墨子•天志》曰:“譬若輪人之有规。”“规矩”中的矩,原意为画直角或方形用的曲尺,形如∟。《荀子•不苟》曰:“五寸之矩,画天下之方也。”有了规和矩,就可以成方和圆。“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,”说的是数的艺术是从圆和方开始的。圆是从内接正多边形经过无数次的倍边之后,所得到的正多边形的边长极限(如果这样的解释是正确的话,我们实在敬佩我们的祖先那么早就有这么深刻的数学思想),所以说“圆出于方”。而方中的直角,非矩不能作,所以说“方出于矩”。这种数学思想,与道家思想同出一辙。扬雄《太玄经》十“玄图”曰:“天道成规,地道成矩”。实际上这就是道家版本的“盖天说”。
的确,“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩”是我们的祖先提炼出的珍贵的数学思想精粹;但其绝妙之处则是“矩出于九九八十一”。
“矩出于九九八十一”包含有怎样的数学思想呢?其真实之道如何?
所谓“九九”,最早是作为九九乘法口诀的称谓。这九九歌诀,散见于《淮南子》、《管子》、《荀子》、《吕氏春秋》、《战国策》、《灵枢经》、《易纬•乾凿度》、《孝经》、《大戴礼记》、《史记》索隐、《史记》正义、《贾谊新书》、《孔子家语》、《穆天子传》、《逸周书》、《礼记•礼运》、《内经素问》、《春秋繁露》、《前汉书》等书中,如:
《荀子》、《战国策》中有“九九八十一”。
   《淮南子》、《孔子家语》、《大戴礼记》、《易•本命》中有“三三九”。
   《管子》中有七乘全部:“七七四十九,六七四十二,五七三十五,四七二十八,三七二十一,二七十四。”
    《淮南子》和《孔子家语》中有九乘全部:“九九八十一,八九七十二,七九六十三,六九五十四,五九四十五,四九三十六,三九二十七,二九十八。”
若把敦煌及居延所遗汉代“九九术”之残简与敦煌旧抄本《算书》合并,则古九九歌诀有:
九九八十一,八九七十二,七九六十三,六九五十四,五九四十五,四九三十六,三九二十七,二九十八;八八六十四,七八五十六,六八四十八,五八四十,四八三十二,三八二十四,二八十六;七七四十九,六七四十二,五七三十五,四七二十八,三七二十一,二七十四;六六三十六,五六三十,四六二十四,三六十八,二六十二;五五二十五,四五二十,三五十五,二五十;四四十六,三四十二,二四八;三三九,二三六,二二四。
    以上共36句,以后又把“一九如九”、“一八如八”、“一七如七”等9句加入,共45句。早期的“九九术”,一开始就是九九,由九九迄一一,故称九九。大约在四五世纪的《孙子算经》中,解释九九算法时仍采用自九九迄一一。但从宋、元时代起,“九九术”次序是由“一一如一”至“九九八十一”,将古代的颠倒过来,与我们现在采用的乘法口诀完全一致。
不仅如此,还应当看到,我国古代九九之术,其含义不仅是乘法口诀,它也是我国古代初等数学的代名词,是我国古代初等数学的一种简称。
在论述九九之术与道的关系时,特别应关注的有:《管子•轻重篇》称:“宓戏作九九之数。”扬雄《太玄经》称:“陈其九九,以为数生。”《前汉书•梅福传》称:“福上书曰:‘吾闻齐桓之时,有以九九见者,桓公不逆,欲以致大也。’”在刘徽《九章算术注•原序》中称:“昔在包牺氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之术,以合六爻之变。”九九之法,估计上古就已经产生。
那么,“矩出于九九八十一”蕴涵着什么样的数学思想呢?
剖析《周髀算经》数学思想,必须注意到它的一个十分显著的特点,即在阐述古人看待“数之所生”时,是将数与形结合起来进行认识的。点、线、面,方和圆,这些几何形体(其作图工具有规与矩)都具有怎样的数量关系呢?我们认为,古人了解其性质是从接触和掌握面积及其算法开始的。当然,其对象是方 和圆。但最早的应该是方,然后再到圆。方形面积较早就获得准确的算法,这是由于它的边是直的缘故;而圆由于其边是曲的,获得对其面积的算法人类要走更长的路程。面积、体积的“积”,在人类古代数学的起源和发展中扮演着十分重要的角色,它也是我国古代思维方式中将数与形结合起来进行考察的非常好(也是非常自然)的载体。积有堆垒、累积的含义,《易•升》:“君子以顺德,积小以高大”;也有聚、积蓄的含义,《诗•周颂•载芟》曰:“载获济济,有实其积,万亿及秭”;在算学中,乘得之数曰积,如2×2=4,4称为积。在古代,我国“积”又常常用“幂”来代言。如刘歆制做王莽量器时,用“幂”表示量器的底面积;《九章算术》刘徽注中以幂表示面积(“此积为田幂”);后来,王孝通在《缉古算经》中有以幂表示面积的(第二问第一术“隅阳幂”),也有以幂表示“平方”的(第二问第二术“又以高幂乘之”);一直到明、清时代,既有称积为幂的,也有称平方或立方为幂的。《说文解字》中称“幂,覆也。从一下垂也。”幂的原意是遮盖东西所用的布,可理解为表皮或表面。李注称:“幂是方面单布之名,积乃众数聚居之称。……凡言幂者,据广从之一方,其言积者,举众步之都数。”即幂是由一边伸展而成的方(面)面(方),积是用单位量得的总数。可见,不管是“积”或是“幂”,那种数与形结合起来研究数学的思想,在我国古代是很早就已萌发并且在后来得到普遍的发展。因此,这“九九八十一”说的是面积,这面积的大小是八十一;这八十一是由宽(广)是九、长(从)是九组成的方得来的,而它又是有数字运算规律的:9×9=81。物之方者,皆有四隅,《论语•述而》曰:“举一隅,不以三隅反,则不復也。”隅就是方角,矩尺就是这样的东西,其形中折,成直角,用它,可以“画天下之方也”(《荀子•不苟》)。所以说:“矩出于九九八十一”。然除81=9×9外,还有72=9×8,63=9×7,54=9×6……。从81=9×9迄1=1×1止,式子左边应都看成是方形面积的大小;右边都是数字的运算,亦即一直沿用下来的乘法口诀。而专取“九九八十一”(81=9×9)是用它来泛指前面叙述的这层意思的。“九九八十一”具有泛指的意思。然而选它作为泛指的代表也是由于它有典型性,从1到9,9最大,用两个最大的9相乘来泛指,代表性强。《素问•三部九候论》曰“天地之至数,始于一终于九焉。”《管子•轻重》曰:“作九九之数,以合天道。”这“数之法”是“合天道”的。
两边长相等的矩形是正方形,正方形的面积等于边长的平方,探讨这“平方”之间的关系导致的一个直接结果就是勾股定理的发现。《周髀算经》在阐述“数之法”之后,就介绍了“勾三股四弦五”这个勾股定理的特例:“故折矩以为勾广三,股修四,径隅五,既方其外,半之一矩,环而共盘得三、四、五。两矩共长二十有五是谓积矩。”并且随后还展示了勾股定理的一般形式:

“若求斜至日者,以日下为勾,日高为股。勾股各自乘,并而开方除之,得斜至日(弦)”。这些成果的取得,上述的“数之法”为之提供了思想依据。而《周髀算经》所提供的“用矩之道”六条——“平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方”,前四条可视为中国古代测量术所采用的“公理”;而后两条——“环矩以为圆”(把矩的两尺当作规的两只脚,直立于平面上,以矩的一尺之端为枢,旋转时,另一尺之端可画一个圆)和“合矩以为方”(同样的两个矩合倂起来,就构成一个长方形或正方形),则道明了矩在作方、圆图中的作用。方、圆之道与“数之法”是一脉相承的。



如果把周公商高问答作为《周髀算经》的第一阶段,那么第二阶段就是荣方陈子问答。    
陈子是周代的天文算学家,荣方是当时天文算学的爱好者。荣方对陈子的数学才能很羡慕,十分虚心地向陈子求教。陈子教给荣方学习和研究数学的方法。
    陈子曰:“此亦望远起高之术,而子不能得,则子之于数,未能通类。是智有所不及,而神有所穷,夫道术,言约而用博者,智类之明。问一类而以万事达者,谓之知道。今子所学,算数之术,是用智矣。而尚有所难,是子之智类单。夫道术所以难通者,既学矣,患其不博。既博矣,患其不习。既习矣,患其不能知。故同术相学,同事相观,此列士之愚智,贤不肖之所分。是故能类以合类,此贤者业精习知之质也。”
陈子指出:数学的道理和方法概括起来并不复杂,但要能广泛应用,那还得依赖自己的灵活。闻一知十,以类相推,执简驭繁。学习数学如能引伸触类,那就可以通达万事。这样的人,叫做“知道”(即懂得数学道理);否则,就叫做“不知道”(即不懂得数学道理)。数学的道理和方法之所以难以掌握,首先在于学得少,知识不广博,应用起来就不够;其次,学得广博了一些,但还不熟练,应用起来就不敏捷;再次,学得熟练了,但还不知其所以然。所以方法相同的,应当掌握它们互相沟通、彼此一致的地方;事物相同的,应当学会同中求异,在相同之中找出它们的差异。这就是智与不智、贤与不肖的区别。所以,同样是学习数学的人,有的能洞悉神理,看清本质;有的却不能精习业务,灵活应用。学习数学旨在看清本质,达到举一反三的目的。
《周髀算经》引述陈子的这段话,意在阐明道术。这里所说的“道术”,亦即方术。《庄子•天下》曰:“古之所谓道术者,果恶乎在?曰:无乎不在。”又曰:“天下之治方术者多矣。”成玄英(唐)疏:“方,道也。自轩顼已下,迄于尧舜,治道艺术方法甚多。”实际上,这些就是我们现在所研究的方法论范畴,《文心雕龙》五“书记”中对此概括得尤为深刻:“方者隅也,医药攻病,各有所立,专精一隅,故药术称方。术者路也,筭历极数,见路乃明,九章积徵,故以为术。”这里用“路”来比喻术,用“见路乃明”来形容有了方法就意味着找到解决问题的途径,它说明了数学方法在解决实际问题中的作用,正如,《论语》“子张”所云:“虽小道,必有可观者焉。”细心考察陈子所说的“道术”,则是为了进一步地说“道”,为了深刻地阐明“知道”。陈子是从说方法、技艺入手,进而谈规律,谈事理,谈思想。这种论事、论理的方式,在我国古代,是比较普遍采用的,当然,也有采用相反方式的,即明得事理、规律之后,再进一步探究具体方法、技巧的,如《庄子•养生主》中说:“庖丁释刀对曰:臣之所好者道也,进乎技矣。”这些都是认识事物、处理事理十分自然、十分必要的相互之逻辑补充。一般说来,凡宗尚黄帝、老、庄之说,及后世的道教都称道家,先秦诸子有道家,魏晋之后有道教,皆省称道。而《周髀算经》说“道”,说的是更普遍的大“道”,而其立意的重点是在阐明“类以合类”思想。《易•乾》曰:“本乎天者亲上,本乎地者亲下。则各从其类也。”《易•系辞》曰:“方以类聚,物以群分。”《礼•乐记》曰:“方以类聚”。《疏》曰:“方以类聚者,方谓走虫禽兽之属,各以类聚,不相离也。”同类的事物相聚一处,这在今天的分类学上也是一个重要的基本常识。“类”的概念是与中国古代数学等科学知识紧密联在一起的,也是数学等学科的科学方法的一种表现。我们知道,不明确“类”,就不能正确地使用概念;不明确“类”,就不能恰当地进行判断和推理。《周髀算经》所载的陈子所言“类以合类”,具有深刻的思想含义。同一种类的东西、相似的东西,它们有和同、融洽的可能;有比拟的基础;可以相与、相和;可以相配、聚会;可以收拢,达到全、满。象“类以合类”这种从方法论的角度上来谈“道”的,当时和后来还有“类名”、“类行”、“类同”、“知类”、“察类”、“别类”、“异类”、“比类”、“统类”、“伦类”、“推类”等等。如后期墨家对判断作了分类,认为凡共有同一标准所说明属性的事物都可以看作一类,将推理分为“以类取”和“以类予”两大类;荀子也提出“推类度类”、“知类察断”两种推理形式,认为万物至众“非至辩莫之能分”,“辩莫大于分类”等等,《周髀算经》除了记叙陈子阐述他的数学思想之外,还介绍了陈子教荣方具体解决问题的方法。
从《周髀算经》与道的研究中我们体会到:我们祖先早期的数学研究,是从数与形的结合上而得到“道”的;早期的数学研究与道的研究,都对数字感兴趣,而且这些数字又都是与人、地、天、物联在一起的;早期的数学研究与道的研究,将天、地、人融为一体,并用探讨和提炼数字规律(和数学规律)的方式体现出对“自然”的理解,这条道路走得十分漂亮。在这个意义上,数学与道,走的是同道。考察中国数学史,中国很早就认为“数学研究的是自然”[3]。著名的科学史家李约瑟博士说过:“道家对自然深感兴趣。”[4]他还说:“中国人的特性中,很多最吸引人的地方,都来自道家的传统,中国如果没有道家,就象大树没有根一样。”[5]人们“为什么要特别拜老子呢?因为老子是世界上最懂自然的人。”[6]老子云:“人法地,地法天,天法道,道法自然。”[7]是自然使数学与道走到一起的;道与数学走到一起,也是一种自然;将来的理想图景,自然也需数学与道学走到一起去创造,去开拓。这涉及到对“自然”的深刻理解。按照于光远先生的看法,“自然”的含义可归纳为自然界、自然物、第一义的自然(即它在被人们认识时才同人发生关系的自然)、第二义的自然(本来是属于第一义的自然,但又必须与实践中的人发生了关系之后,才能获得的第二义自然)、天然的自然、社会的自然、自然观、“人与自然”或“社会与自然”关系中的自然、中国自然辩证法学派对它研究对象的把握等9个方面[8]。可见,自古至今,人们是十分重视自然的。照我们看来,科学与道学联手探索自然,当会导致许多原始性的创新。



科学与道学联手探索自然,导致原始性创新,是有可能的。科学史和道教史为此观点提供了依据,火药的发明就是有力的例证。本议题“《周髀算经》与道”则想从创新思维上,也作一点探讨。
世界上科学的出现是在近代时期。“科学”这个词在中国出现最早大约在1895年。康有为在介绍日本书目时,首先把“科学”这个词介绍到中国。接着,严复在翻译《原富》和《天演论》时,也把science译作“科学”。从此以后,“科学”这个词在中国广泛流传开来。过去,中国人谈科学,一般叫做“格致”,它是“格物致知”的简称。所谓格物,就是接触事物的意思;致知,即获得知识;“格物致知”意指通过接触事物而获得知识。“格物致知”最早出自我国春秋战国时期的《礼记•大学》,原文是:“致知在格物,格物而后知至”。可见,我国很早就用“格物致知”来表达科学。后来,在历代百科知识的丛书中,也都采用“格致”来表达科学。因而,我们说科学与道学联手探索自然,当会导致原始性创新,其含义中有包括:创新和原始性创新在古代就已经有过;那时的创新也有科学创新和科学的创新。而这里关注的是科学与道学联手探索自然导致原始性创新的科学创新思维。科学创新思维具有许多特点,概括起来,主要有以下几条:
1.反常性。科学创新思维就思维形式而言,一般不是沿着固定的逻辑通道进行,它往往表现为思维发展的突变性。
2.开放性、拓展性。科学创新思维就思维空间而言,是十分广阔的,它是多维、多相的,是全方位的、多角度的,并且还具有拓展、延伸的力度,不被禁锢在固定的空间、范围内。
3.互补综合性。科学创新思维就思维过程而言,抽象思维、形象思维、直觉思维,发散思维、收敛思维,顺向思维、逆向思维等,既可独立进行,又可相互补充,往往会恰当互补协调地统一。
4.灵敏性、灵巧性。科学创新思维就思维方式而言,具有高度的灵敏性和灵巧性。思维方式是在社会实践的基础上,由一定的文化背景、知识结构、方法和习惯等因素构成的。科学创新思维善于利用文化背景,在继承历史积淀下来的思想资料基础上,勇于冲破旧的观念形态而创立新的观念形态;它力图跨越现有的科学技术水平和一般知识水平、现有的理论知识和实际经验,去改善或改变现成的知识结构;它既采用已有的方法又想创立新的方法,既看到习惯势力又想摆脱习惯势力,将思维方式的各种因素在头脑中巧妙地联结起来,去介入新的思维过程,组成思考问题的程式和方法。科学技术的创新往往伴随着出现新的思维方式。
5.独创性。科学创新思维就思维成果而言,鲜明地具有独创性,新是最显著的特征。实际上,科学创新思维就是人在科学活动中强烈个性特点的体现,是人的智慧的结晶,是人的自主性、创造性的标志。
科学以探求真理为目的,科学的价值在于求真,在于它的真理性。儒家追求新境界,道家追求真精神,求真亦是道学的真谛。道教、道家、道学,都格外看重求真。求真使格物而致知,求真使“道学众矣”(《隋书经籍志》三),科学和道学因求真而可融为一体。把求真视为品格,探得“真源”(真正的本源),了解“真性”(本性),进行“真诠”(对所奉经典的正确解释),取得“真经”(道家经籍),获得真理,这实际上就是科学、道学探索自然所走的道路,而这也是导致创新的正确思维方式。从《周髀算经》中,我们是可以寻觅到古人在创新时所留下的印跡的。这里,我们以商高创立“寸千里”法则为例进行说明。
《周髀算经》卷上之二曰:“昔者荣方问于陈子曰:今者窃闻夫子之道,知日之高大,光之所照,一日所行,远近之数,……天地之广袤,夫子之道皆能知之。其信有之乎?陈子曰:然。”这就是书中提出的关于测量太阳距离的问题。陈子采用的方法是:“陈子曰:日中(太阳中天时)立竿测影,……周髀长八尺,夏至之日,晷(日影)一尺六寸。髀者,股也。正晷者,勾也。正南千里,勾一尺五寸,正北千里,勾一尺七寸。”这就是立髀测日的方法。采用这种方法,首先,要有勾股定理的知识;其次,要有相似三角形的知识;其三,要有比例学知识。才能获得“寸千里”法则(“凡日影于地,千里而差一寸”)。“法曰:周髀长八尺,句之损益,寸千里”。而整个过程是贯穿着寻找“夫子之道”进行的。

注释:
[1][3] 郭金彬:“刘徽的自然哲学思想及其现代价值”,《自然辩证法研究》2002年第9期。
[2] 对此,笔者将另撰文论述。
[4][5][6]  [英]李约瑟:《中国古代科学思想史》,陈立夫等译,江西人民出版社,1999年9月第2版,第185页、186页、187页。
[7]  中国社会科学院哲学研究所中国哲学史研究室:《中国哲学史资料选辑•先秦之部•老子》,中华书局,1984年,第619页。
[8]  于光远等:《自然辩证法百科全书》,中国大百科全书出版社,1995年1月版,第765页。
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发布者:  admin 发布时间:  2010-7-28 浏览人数: 2170
 

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